디지털 필터

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1. 개요
2. 특징
- 2.1. 해석 기법
  - 2.1.1. 임펄스 반응
  - 2.1.2. 차분 방정식
- 2.2. 설계 및 구현
  - 2.2.1. 필터 설계
  - 2.2.2. 필터 구현
3. 종류
- 3.1. FIR 필터와 IIR 필터
- 3.2. 상태 공간 필터
4. 아날로그 필터와의 비교
5. 응용 분야
6. 한국의 디지털 필터 기술
참조

1. 개요

디지털 필터는 전달 함수 또는 차분 방정식으로 특징지어지는 신호 처리 기술이다. 수학적 분석을 통해 입력에 대한 응답을 예측할 수 있으며, 필터 설계는 원하는 사양을 충족하는 전달 함수를 생성하는 과정으로 이루어진다. 디지털 필터는 아날로그 필터보다 높은 성능을 달성하기 쉽고, 복잡한 다단 여과 조작에서 더 나은 신호 대 잡음비를 제공한다. 디지털 필터는 선형, 인과적, 시불변, 안정적, FIR 또는 IIR 필터로 분류되며, 임펄스 응답, 차분 방정식 등의 해석 기법을 통해 동작을 분석하고 설계에 활용한다. 디지털 필터는 아날로그 필터에 비해 부품 비선형성의 영향이 적고, 계수 값의 안정성, 설계의 유연성, 신호 대 잡음비, 구현의 용이성 등의 장점을 가진다.

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디지털 필터
개요
디지털 필터의 블록 다이어그램
유형	FIR 필터 IIR 필터
설명
디지털 필터
작동 방식
역사
설계 및 구현
설계	블로우워스 필터: 블로우워스 필터는 패스밴드에서 가장 평탄한 응답을 제공하도록 설계되었으며 다른 유형의 필터보다 구현하기가 더 쉽다. 체비셰프 필터: 체비셰프 필터는 블로우워스 필터보다 패스밴드에서 더 가파른 롤오프를 제공하지만 패스밴드에 리플이 있다. 타원 필터: 타원 필터는 패스밴드와 스톱밴드 모두에서 가장 가파른 롤오프를 제공하지만 패스밴드와 스톱밴드 모두에 리플이 있다.
구현
유형
FIR 필터
IIR 필터
응용 분야
오디오 처리
이미지 처리
통신 시스템
제어 시스템

2. 특징

디지털 필터는 전달 함수, 즉 차분 방정식에 의해 특성이 결정된다. 전달 함수를 수학적으로 해석하면 입력에 대한 반응을 예측할 수 있다. 필터 설계는 주어진 문제에 적합한 사양(예: 특정 차단 주파수를 가진 2차 저역 통과 필터)을 개발하고, 그 사양을 만족하는 전달 함수를 만드는 과정으로 이루어진다.^[3]

선형 시불변 디지털 필터의 전달 함수는 Z 변환을 사용하여 표현할 수 있다. 인과적인 경우, 다음과 같은 형태를 가진다:^[3]

: $H(z) = \frac{B(z)}{A(z)} = \frac}}$

여기서 필터의 차수는 ''N'' 또는 ''M'' 중 큰 값이다. 이 전달 함수에 대한 자세한 내용은 ''Z''-변환의 LCCD 방정식에서 확인할 수 있다.

이 수식은 무한 임펄스 응답(IIR) 동작을 유도하는 재귀 필터의 형태이다. 그러나 분모를 1로 만들면(피드백이 없으면) 유한 임펄스 응답(FIR) 필터가 된다.

디지털 필터는 아날로그 필터와 달리, 수학 함수나 알고리즘으로 표현할 수 있는 모든 필터 효과를 구현할 수 있다. 1비트 A/D 컨버터나 파이프라인 처리가 가능한 DSP를 사용하여 프로그래밍하는 방식으로 구현된다.

디지털 필터는 속도와 비용에 제약이 있지만, 집적 회로 비용이 감소하면서 라디오, 휴대 전화, 스테레오 수신기 등 일상 제품에 널리 사용되고 있다.

디지털 필터는 아날로그 필터보다 높은 성능을 달성하기 쉽다. 예를 들어, 1000Hz를 컷오프 주파수로 하여 1001Hz 신호를 거의 완전히 차단하고 999Hz 입력을 거의 완전히 통과시키는 저역 통과 회로를 디지털 필터로 구현하는 것은 어렵지 않다. 반면, 아날로그 필터로는 이러한 작은 주파수 차이를 완전히 분리하기 어렵다. 또한, 복잡한 다단 여과 과정에서 디지털 필터는 아날로그 필터보다 훨씬 우수한 신호 대 잡음비(SN비)를 얻을 수 있다. 아날로그 필터는 각 단계에서 잡음이 추가되지만, 디지털 필터는 각 단계에서 잡음 없이 처리하기 때문이다.

하지만 디지털 필터도 ADC(아날로그-디지털 변환기)나 양자화 오차로 인해 잡음이 발생할 수 있어 완벽하게 잡음이 없는 것은 아니다. 또한, 필터의 샘플링 주파수 ''f_s''의 절반을 초과하는 주파수(나이키스트 주파수, 폴딩 노이즈 참조)에 유의해야 한다. 따라서 폴딩 노이즈의 영향을 줄이기 위해 AD 변환기 전에 고주파 성분을 차단하는 저역 통과 회로를 추가하는 경우가 많다.

2. 1. 해석 기법

주어진 디지털 필터의 동작을 분석하기 위해 다양한 수학적 기법이 사용될 수 있다. 이러한 분석 기법은 필터 설계에도 활용될 수 있으며, 필터의 성능을 측정하는 기반이 된다.

일반적으로 필터는 임펄스와 같은 간단한 입력에 대한 응답을 계산하여 특성화한다. 이 정보를 바탕으로 복잡한 신호에 대한 필터의 응답을 계산할 수 있다. 많은 디지털 필터는 고속 푸리에 변환을 기반으로 시간 영역에서 주파수 영역으로 변환하여 신호의 주파수 성분을 조절한다.

Z 변환을 사용한 선형 디지털 필터의 전달 함수(시스템 함수)는 다음과 같다.

:

H(z) = \frac{B(z)}{A(z)}  = \frac}}

여기서 M은 필터의 차수를 나타낸다.

이 수식에서 분모가 1이 아닌 경우 무한 임펄스 응답(IIR) 필터라고 불리며, 분모가 단일 항, 즉

a_{M}

이 0인 경우는 유한 임펄스 응답(FIR) 필터라고 불린다.

디지털 필터의 또 다른 형식은 상태 공간 모델이다. 자주 사용되는 상태 공간 필터는 1960년에 루돌프 칼만이 발표한 칼만 필터가 있다.

2. 1. 1. 임펄스 반응

임펄스 응답은

h[k]

또는

h_k

로 표기되며, 필터가 크로네커 델타 함수에 어떻게 반응하는지를 측정한 것이다.^[16] 예를 들어, 차분 방정식을 사용하면

x_0 = 1

로 설정하고

k \ne 0

에 대해

x_k = 0

으로 설정하여 평가할 수 있다. 임펄스 응답은 필터의 동작을 특성화하는 것이다. 디지털 필터는 일반적으로 무한 임펄스 응답(IIR)과 유한 임펄스 응답(FIR)의 두 가지 범주로 분류된다.

선형 시불변 FIR 필터의 경우, 임펄스 응답은 필터 계수의 시퀀스와 정확히 같으므로 다음과 같다.

:

\ y_n= \sum_{k=0}^{N} b_{k} x_{n-k} =\sum_{k=0}^{N} h_{k} x_{n-k}

반면에 IIR 필터는 재귀적이며, 출력은 현재 및 이전 입력뿐만 아니라 이전 출력에도 의존한다. 따라서 IIR 필터의 일반적인 형식은 다음과 같다.

:

\ \sum_{m=0}^{M} a_{m}y_{n-m} = \sum_{k=0}^{N} b_{k} x_{n-k}

임펄스 응답을 플로팅하면 필터가 갑작스럽고 일시적인 교란에 어떻게 반응하는지 알 수 있다. IIR 필터는 항상 재귀적이다. 재귀 필터가 유한 임펄스 응답을 가질 수 있지만, 비재귀 필터는 항상 유한 임펄스 응답을 갖는다. 한 예로, 이동 평균 필터가 있으며, 재귀적 및 비재귀적으로 구현될 수 있다.

2. 1. 2. 차분 방정식

디지털 필터는 전달 함수 또는 그와 동등한 차분 방정식에 의해 특징지어진다. 전달 함수에 대한 수학적 분석은 어떤 입력에 대해 어떻게 응답할지 설명할 수 있다. 따라서 필터를 설계하는 것은 문제에 적합한 사양(예: 특정 차단 주파수를 가진 2차 저역 통과 필터)을 개발한 다음, 그 사양을 충족하는 전달 함수를 생성하는 것으로 구성된다.^[3]

선형 시불변 디지털 필터의 전달 함수는 Z 변환에서 전달 함수로 표현될 수 있다. 인과적일 경우 다음과 같은 형식을 갖는다:

:

H(z) = \frac{B(z)}{A(z)}  = \frac}}

여기서 필터의 차수는 ''N'' 또는 ''M'' 중 더 큰 값이다. 이 전달 함수에 대한 자세한 내용은 ''Z''-변환의 LCCD 방정식을 참조한다.

이것은 일반적으로 무한 임펄스 응답 (IIR) 동작을 유도하는 재귀 필터의 형식이다. 하지만 분모를 단위로 만들면, 즉 피드백이 없으면, 이는 유한 임펄스 응답 (FIR) 필터가 된다.

이산 시간 시스템에서 디지털 필터는 종종 선형 상수 계수 차분 방정식 (LCCD)을 Z 변환을 통해 전달 함수를 변환하여 구현된다. 이산 주파수 영역 전달 함수는 두 다항식의 비율로 작성된다. 예를 들어:

:

H(z) = \frac{(z+1)^2} {(z-\frac{1}{2}) (z+\frac{3}{4})}

이것은 다음과 같이 확장된다:

:

H(z) = \frac{z^2+ 2z +1} {z^2 +\frac{1}{4} z - \frac{3}{8}}

그리고 해당 필터를 인과적으로 만들기 위해 분자와 분모를

z

의 최고 차수로 나눕니다.

:

H(z) = \frac{1 + 2z^{-1} +z^{-2}} {1 +\frac{1}{4} z^{-1} - \frac{3}{8} z^{-2}} = \frac{Y(z)}{X(z)}

분모의 계수

a_{k}

는 '피드백' 계수이고, 분자의 계수는 '피드 포워드' 계수

b_{k}

이다. 결과적인 선형 차분 방정식은 다음과 같다.

:

y[n] = -\sum_{k=1}^{M} a_{k} y[n-k] + \sum_{k=0}^{N} b_{k} x[n-k]

또는 위의 예의 경우:

:

\frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1 + 2z^{-1} +z^{-2}} {1 +\frac{1}{4} z^{-1} - \frac{3}{8} z^{-2}}

항을 재정렬하면:

:

\Rightarrow (1 +\frac{1}{4} z^{-1} - \frac{3}{8} z^{-2}) Y(z) = (1 + 2z^{-1} +z^{-2}) X(z)

그런 다음 역 ''z''-변환을 취하면:

:

\Rightarrow y[n] + \frac{1}{4} y[n-1] - \frac{3}{8} y[n-2] = x[n] + 2x[n-1] + x[n-2]

마지막으로

y[n]

에 대해 풀면:

:

y[n] = - \frac{1}{4} y[n-1] + \frac{3}{8} y[n-2] + x[n] + 2x[n-1] + x[n-2]

이 방정식은 과거 출력

y[n-p]

, 현재 입력

x[n]

및 과거 입력

x[n-p]

에 대한 다음 출력 샘플

y[n]

을 계산하는 방법을 보여준다. 이러한 형태로 필터를 입력에 적용하는 것은 정확한 평가 순서에 따라 직접 형식 I 또는 II 실현과 동일하다.

간단히 말해서, 위의 방정식을 코드에서 구현하는 컴퓨터 프로그래머가 사용하는 것처럼 표현하면 다음과 같다.

$y$ = 출력 또는 필터링된 값
$x$ = 입력 또는 들어오는 원시 값
$n$ = 샘플 번호, 반복 횟수 또는 시간 기간 번호

따라서:

$y[n]$ = 현재 필터링된(출력) 값
$y[n-1]$ = 마지막 필터링된(출력) 값
$y[n-2]$ = 두 번째 마지막 필터링된(출력) 값
$x[n]$ = 현재 원시 입력 값
$x[n-1]$ = 마지막 원시 입력 값
$x[n-2]$ = 두 번째 마지막 원시 입력 값

2. 2. 설계 및 구현

디지털 필터는 전달 함수 또는 차분 방정식으로 특징지어진다. 필터 설계는 문제에 적합한 사양을 개발한 다음, 이 사양을 충족하는 전달 함수를 생성하는 것으로 구성된다.^[3] 필터 설계 후에는 샘플 시퀀스에 대한 연산으로 필터를 설명하는 신호 흐름도를 개발하여 필터를 구현해야 한다.

주어진 전달 함수는 여러 방식으로 구현될 수 있으며, 구현 방식에 따라 다른 수치적 특성을 가진다. 일부 구현은 필요한 연산 또는 저장 요소의 수 측면에서 효율적이고, 다른 구현은 수치적 안정성 향상 및 반올림 오류 감소와 같은 이점을 제공한다. 고정 소수점 산술에 적합한 구조도 있고, 부동 소수점 산술에 적합한 구조도 있다.^[3]

디지털 필터는 아날로그 필터와 달리 수학 함수나 알고리즘으로 표현할 수 있는 모든 필터 효과를 달성할 수 있다. 구현에는 1비트 A/D 컨버터를 사용하거나, 파이프라인 처리가 가능한 DSP를 사용할 수 있다.

디지털 필터에는 속도와 비용 제한이 있지만, 집적 회로 비용이 하락하면서 라디오, 휴대 전화, 스테레오 수신기 등 일상 제품의 필수 요소가 되고 있다.

2. 2. 1. 필터 설계

디지털 필터는 그 전달 함수 또는 그와 동등한 차분 방정식으로 특징지어진다. 전달 함수를 수학적으로 분석하면 어떤 입력에 대해 필터가 어떻게 응답할지 설명할 수 있다. 따라서 필터 설계는 문제에 적합한 사양(예: 특정 차단 주파수를 가진 2차 저역 통과 필터)을 개발한 다음, 이 사양을 충족하는 전달 함수를 생성하는 것으로 구성된다.

선형 시불변 디지털 필터의 전달 함수는 Z 변환에서 전달 함수로 표현될 수 있으며, 인과적일 경우 다음과 같은 형식을 갖는다:^[3]

:

H(z) = \frac{B(z)}{A(z)}  = \frac}}

여기서 필터의 차수는 ''N'' 또는 ''M'' 중 더 큰 값이다. 이 전달 함수에 대한 자세한 내용은 ''Z''-변환의 LCCD 방정식을 참조하면 된다.

이것은 일반적으로 무한 임펄스 응답 (IIR) 동작을 유도하는 재귀 필터의 형식이다. 하지만 분모를 단위로 만들면(즉, 피드백이 없으면) 유한 임펄스 응답 (FIR) 필터가 된다.

필터는 이해하고 계산하기는 쉽지만, 설계 및 구현의 실제적인 과제는 상당하며, 많은 고급 연구의 대상이 되고 있다.

디지털 필터에는 재귀 필터와 비재귀 필터 두 가지 범주가 있다. 이들은 종종 각각 무한 임펄스 응답 (IIR) 필터와 유한 임펄스 응답 (FIR) 필터라고 불린다.^[5]

디지털 필터는 아날로그 필터보다 더 높은 성능을 달성하기 용이하다.

예를 들어, 1001Hz의 신호를 거의 완전히 차단하고 999Hz의 입력을 거의 완전히 통과시키는 컷오프 주파수 1000Hz의 저역 통과 회로(로우 패스 필터)를 생성하는 것은 디지털 필터에서는 그리 어렵지 않다. 반면에 아날로그 필터에서는 그러한 주파수 차이가 적은 신호를 완전히 분리하기가 어렵다. 또한 복잡한 다단 여과 조작에 대해 디지털 필터는 아날로그 필터보다 훨씬 더 나은 신호 대 잡음비(SN비)를 달성할 수 있다. 이는 아날로그 필터에서는 각각의 중간 단계에서 더 많은 잡음이 신호에 더해지지만, 디지털 필터는 변환의 각각의 중간 단계에서 잡음 없이 처리를 수행하기 때문이다.

다만 디지털 필터에서도 ADC(아날로그-디지털 변환기)나 (신호의 수치가 유한 정밀도에서 발생하는) 양자화 오차에서 잡음이 발생하므로 완전히 잡음이 없는 것은 아니다. 또한 필터의 샘플링 주파수 ''f_s''의 절반을 초과하는 주파수에 주의해야 한다. (나이키스트 주파수, 폴딩 노이즈 등 참조) 따라서 폴딩 노이즈의 영향을 피하기 위해 회로 내에서 AD 변환기 전에 고주파 성분을 차단하는 저역 통과 회로를 삽입하는 경우가 많다.

2. 2. 2. 필터 구현

주어진 전달 함수는 여러 방식으로 구현될 수 있다. 간단한 표현식

ax + bx + c

를 평가하는 방법처럼,

x(a + b) + c

와 같은 동등한 표현식도 계산할 수 있다. 마찬가지로, 모든 구현은 동일한 전달 함수의 '인수 분해'로 볼 수 있지만, 서로 다른 구현은 다른 수치적 특성을 갖는다. 특히, 일부 구현은 구현에 필요한 연산 또는 저장 요소의 수 측면에서 더 효율적이며, 다른 구현은 향상된 수치적 안정성 및 감소된 반올림 오류와 같은 이점을 제공한다. 일부 구조는 고정 소수점 산술에 더 적합하고 다른 구조는 부동 소수점 산술에 더 적합할 수 있다.^[3]

IIR 필터를 구현하는 간단한 방법은 직접 형식 I이며, 여기서 차분 방정식이 직접 계산된다. 이 형식은 작은 필터에 실용적이지만 복잡한 설계의 경우 비효율적이고 실용적이지 않을 수 있다(수치적으로 불안정).^[6] 일반적으로 이 형식은 N차 필터에 대해 2N 개의 지연 요소(입력 및 출력 신호 모두에 대해)가 필요하다.

직접 형식 II는 필터의 차수 ''N'' 만큼의 지연 단위만 필요로 하며, 이는 직접 형식 I보다 잠재적으로 절반 수준이다. 이 구조는 직접 형식 I의 분자 및 분모 섹션의 순서를 반전시켜 얻어진다. 이들은 실제로 두 개의 선형 시스템이며, 교환 법칙이 적용되기 때문이다. 그러면 중앙 노드에서 지연(

z^{-1}

) 열이 두 개 있다는 것을 알 수 있으며, 이는 중복되므로 아래에 표시된 구현으로 결합될 수 있다.

단점은 직접 형식 II가 높은 ''Q'' 또는 공진 필터에 대해 산술 오버플로 가능성을 증가시킨다는 것이다.^[7] ''Q''가 증가함에 따라 두 직접 형식 토폴로지의 반올림 노이즈가 무한정 증가한다는 것이 밝혀졌다.^[8] 이는 개념적으로 신호가 먼저 모든 극점 필터를 통과한 다음 (일반적으로 공진 주파수에서 이득을 높임) 그 결과가 포화된 후 모든 영점 필터를 통과하기 때문이다 (이는 종종 모든 극점 절반에서 증폭된 것의 대부분을 감쇠시킨다).

일반적인 전략은 고차(2차 이상) 디지털 필터를 2차 '이차 방정식' (또는 '이중 2차') 섹션의 캐스케이드 직렬로 구현하는 것이다^[9] ( 디지털 이중 2차 필터 참조). 이 전략의 장점은 계수 범위가 제한된다는 것이다. 직접 형식 II 섹션을 캐스케이딩하면 차수 ''N''인 필터에 대해 ''N''개의 지연 요소가 생성된다. 직접 형식 I 섹션을 캐스케이딩하면 ''N'' + 2개의 지연 요소가 생성되는데, 이는 (첫 번째 섹션을 제외한) 모든 섹션의 입력 지연 요소가 이전 섹션의 출력 지연 요소와 중복되기 때문이다.

다른 형태는 다음과 같다.

직접 형식 I 및 II 전치
직렬/캐스케이드 하위 (일반적인 두 번째) 차수 하위 섹션
병렬 하위 (일반적인 두 번째) 차수 하위 섹션
연분수 전개
격자 및 사다리
1, 2, 3 곱셈 격자 형식
3 및 4 곱셈 정규화 사다리 형식
ARMA 구조
상태 공간 구조:
최적 (최소 잡음 의미): $(N+1)^2$ 매개변수
블록 최적 및 섹션 최적: $4N-1$ 매개변수
기번스 회전을 이용한 입력 균형: $4N-1$ 매개변수^[10]
결합 형식: 골드 레이더(Gold Rader)(정상), 상태 변수(Chamberlin), 킹스버리(Kingsbury), 수정된 상태 변수, 죌저(Zölzer), 수정된 죌저
파동 디지털 필터(WDF)^[11]
아가왈-버러스(Agarwal–Burrus)(1AB 및 2AB)
해리스-브루킹(Harris–Brooking)
ND-TDL
멀티피드백
살렌-키(Sallen-key) 및 상태 변수 필터와 같은 아날로그에서 영감을 받은 형식
시스톨릭 배열

3. 종류

필터는 다양한 특징에 따라 분류할 수 있다.

'''선형 필터'''는 입력 샘플의 선형 변환이며, 중첩의 원리를 만족한다. 즉, 입력이 여러 신호의 가중 선형 결합이면, 출력은 해당 출력 신호의 유사하게 가중된 선형 결합이다. 반면, 비선형 필터는 이 원리를 따르지 않는다.
'''인과적 필터'''는 이전 입력 또는 출력 샘플만 사용하는 반면, '''비인과적 필터'''는 미래 입력 샘플을 사용한다. 비인과적 필터에 지연을 추가하여 인과적 필터로 만들 수 있다.
'''시불변 필터'''는 시간에 따라 특성이 변하지 않지만, 적응 필터와 같은 필터는 시간에 따라 특성이 변한다.
'''안정 필터'''는 시간이 지나면서 일정한 값으로 수렴하거나 유한한 범위 내에서 유지되는 출력을 생성한다. 반면, '''불안정 필터'''는 입력이 유한하거나 0이라도 경계 없이 증가하는 출력을 낼 수 있다.
유한 임펄스 응답(FIR) 필터는 입력 신호만 사용하는 반면, 무한 임펄스 응답(IIR) 필터는 입력 신호와 이전 출력 신호 샘플을 모두 사용한다. FIR 필터는 항상 안정적이지만, IIR 필터는 불안정할 수 있다.

일부 디지털 필터는 고속 푸리에 변환(FFT)을 기반으로 한다. FFT는 신호의 주파수 스펙트럼을 빠르게 추출하는 알고리즘으로, 수정된 스펙트럼을 역 FFT 연산을 통해 시계열 신호로 변환하기 전에 스펙트럼을 조작(예: 고차 대역 통과 필터 생성)할 수 있게 해준다. 이러한 필터는 O(n log n)의 계산 비용을 가지는 반면, 기존 디지털 필터는 O(n²)인 경향이 있다.

전통적인 선형 필터는 감쇠를 기반으로 하지만, 비선형 필터도 설계할 수 있다. 에너지 전달 필터는 사용자가 설계한 방식으로 에너지를 이동시켜 원치 않는 노이즈나 효과를 주파수 대역에서 조절하거나 분산시킬 수 있도록 한다.^[14] 이러한 필터는 기존 설계를 보완하고 더 많은 설계 자유도를 제공하며, 비교적 쉽게 설계 및 구현할 수 있고 비선형 역학을 활용한다.

다른 선형 디지털 필터는 Z 변환을 사용하며, 이때 전달 함수는 다음과 같다.

:

H(z) = \frac{B(z)}{A(z)}  = \frac}}

여기서 M은 필터의 차수를 나타낸다. 분모가 1인 경우, 즉

a_{M}

이 0이면 유한 임펄스 응답(FIR) 필터가 된다.

3. 1. FIR 필터와 IIR 필터

디지털 필터는 크게 무한 임펄스 응답(IIR) 필터와 유한 임펄스 응답(FIR) 필터의 두 가지 범주로 나뉜다.^[5]
FIR 필터 (Finite Impulse Response Filter)FIR 필터는 입력 신호만을 사용하여 출력을 계산한다. 출력은 현재 및 이전 입력 값들의 가중 합으로 결정되며, 다음 식으로 표현된다.

:

\ y_n= \sum_{k=0}^{N} b_{k} x_{n-k} =\sum_{k=0}^{N} h_{k} x_{n-k}

여기서

x

는 입력 신호,

y

는 출력 신호,

b_k

는 필터 계수,

h_k

는 임펄스 응답, N은 필터 차수이다. FIR 필터의 임펄스 응답(

h_k

)은 필터 계수(

b_k

)와 정확히 일치한다.^[4] 즉, 필터에 짧은 임펄스 신호를 입력했을 때 나타나는 출력이 필터 계수와 같다.

FIR 필터는 항상 안정적이며, 선형 위상 특성을 갖도록 설계할 수 있다.
IIR 필터 (Infinite Impulse Response Filter)IIR 필터는 현재 및 이전 입력뿐만 아니라 이전 출력 값도 함께 사용하여 출력을 계산하는 재귀적 필터이다. 일반적인 형태는 다음과 같다.

:

\ \sum_{m=0}^{M} a_{m}y_{n-m} = \sum_{k=0}^{N} b_{k} x_{n-k}

여기서

a_m

과

b_k

는 필터 계수, M과 N은 각각 분모와 분자의 차수이다.

IIR 필터는 Z 변환을 사용하여 전달 함수로 표현할 수 있다.^[3]

:

H(z) = \frac{B(z)}{A(z)}  = \frac}}

필터 차수는 N과 M 중 큰 값이다. ''Z''-변환의 LCCD 방정식에서 이 전달 함수를 더 자세히 설명한다.

IIR 필터는 임펄스 응답이 무한히 지속될 수 있다. FIR 필터보다 적은 수의 계수로 동일한 성능을 낼 수 있어 효율적이지만, 재귀적 특성 때문에 불안정해질 수 있다. 그러나 이동 평균(MA) 필터처럼 유한 임펄스 응답을 가지는 재귀 필터도 존재한다.

3. 2. 상태 공간 필터

디지털 필터의 또 다른 형태는 상태 공간 모델이다. 자주 사용되는 상태 공간 필터는 1960년에 루돌프 칼만이 발표한 칼만 필터이다.^[14]

4. 아날로그 필터와의 비교

디지털 필터는 부품 비선형성의 영향을 받지 않아 아날로그 필터보다 안정적이고 예측 가능하다. 아날로그 필터는 불완전한 전자 부품으로 구성되어 부품 값의 오차가 발생하고, 온도나 시간에 따라 특성이 변한다. 반면 디지털 필터의 계수는 컴퓨터 메모리에 저장되어 훨씬 안정적이다.^[12]

디지털 필터는 계수가 명확하여 복잡하고 선택적인 설계를 달성하기 쉽다. 아날로그 필터로는 구현하기 어려운 낮은 통과 대역 리플, 빠른 천이, 높은 저지 대역 감쇠 등을 디지털 필터를 통해 달성할 수 있다. 또한, 디지털 필터는 계수를 쉽게 수정하여 적응형 필터나 사용자 제어형 파라메트릭 필터를 만들 수 있다.^[12]

디지털 필터는 유한 임펄스 응답 필터 설계에 유리하며, 아날로그 회로에 덜 의존하여 더 나은 신호 대 잡음비를 얻을 수 있다. 아날로그 필터는 부품 자체에서 발생하는 열 잡음(예: 존슨 잡음)으로 인해 필터가 복잡해질수록 잡음이 증가하는 반면, 디지털 필터는 이러한 잡음에서 비교적 자유롭다.^[12]

하지만 디지털 필터는 시스템에 대기 시간을 유발한다. 아날로그 필터의 대기 시간은 무시할 수 있을 정도로 짧지만, 디지털 시스템에서는 디지털 신호 경로의 지연 요소, 아날로그-디지털 변환기, 디지털-아날로그 변환기 등에 의해 대기 시간이 발생한다.^[12]

간단한 경우에는 아날로그 필터가 비용 효율적일 수 있다. 디지털 필터를 사용하려면 추가적인 오버헤드 회로가 필요하기 때문이다. 또한 아날로그 필터는 전력 소비가 적어 전력 요구 사항이 엄격한 경우에 유리하다.^[12]

PCB에 회로를 만들 때는 디지털 솔루션이 더 쉬운 경우가 많다. 처리 장치가 고도로 최적화되어 있기 때문이다. 아날로그 부품으로 동일한 회로를 만들려면 더 많은 공간이 필요하다. FPAA^[13]나 ASIC 같은 대안도 있지만 소량 생산에는 비용이 많이 든다.^[12]

디지털 필터는 아날로그 필터보다 더 높은 성능을 달성하기 쉽다. 예를 들어, 1000Hz를 컷오프 주파수로 하여 999Hz는 통과시키고 1001Hz는 차단하는 로우 패스 필터를 디지털 필터로는 쉽게 구현할 수 있지만, 아날로그 필터로는 어렵다. 또한 디지털 필터는 복잡한 다단 여과에서 아날로그 필터보다 더 나은 신호 대 잡음비를 가진다.

그러나 디지털 필터도 아날로그-디지털 변환기나 양자화 오차로 인해 잡음이 완전히 없는 것은 아니다. 또한 샘플링 주파수의 절반을 초과하는 주파수(나이키스트 주파수, 폴딩 노이즈 참조)에 주의해야 하며, 이를 위해 AD 변환기 전에 저역 통과 회로를 삽입하는 경우가 많다.

5. 응용 분야

디지털 필터는 저항, 콘덴서, 트랜지스터 등 전자 부품의 물리적인 구성으로 이루어져 시간 영역, 연속 시간 신호와 같은 아날로그 영역에서 작동하는 아날로그 필터와는 대조적이다.^[1]

디지털 필터는 사실상 수학의 함수나 알고리즘으로 표현할 수 있는 모든 필터의 효과를 달성할 수 있다.^[2] 1비트 A/D 컨버터를 사용하거나, 파이프라인 처리가 가능한 DSP를 사용하여 프로그래밍하는 등 필터로 구현할 수 있다.^[3]

디지털 필터의 두 가지 주요 제한 사항은 속도(필터는 사용 중인 컴퓨터의 동작보다 빠르게 작동할 수 없음)와 비용이다.^[4] 그러나 집적 회로의 비용은 시간이 지남에 따라 계속 하락하고 있으며, 디지털 필터는 점점 더 보편화되어 라디오, 휴대 전화, 스테레오 수신기 등 일상생활의 많은 전기 제품의 필수 요소가 되었다.^[5]

6. 한국의 디지털 필터 기술

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참조

_[1] 논문 High-Performance Digital Filtering on Truncated Multiply-Accumulate Units in the Residue Number System 2020
_[2] 서적 2018 International Conference on Communication and Signal Processing (ICCSP) 2018-04
_[3] 웹사이트 Introduction to digital filters https://www.dsprelat[...] The Related Media Group 2020-07-13
_[4] 웹사이트 Lab.4&5. Introduction to FIR Filters http://www.just.edu.[...] Jordan University of Science and Technology-Faculty of Engineering 2020-07-13
_[5] 서적 Digital Filters: Analysis, Design, and Applications McGraw-Hill 1993
_[6] 웹사이트 Direct Form I http://ccrma.stanfor[...]
_[7] 웹사이트 Direct Form II http://ccrma.stanfor[...]
_[8] 간행물 "On the Interaction of Roundoff Noise and Dynamic Range in Digital Filters," ''Bell Sys. Tech. J.'' 1970-02
_[9] 웹사이트 Series Second Order Sections http://ccrma.stanfor[...]
_[10] 논문 A novel digital filter structure with minimum roundoff noise 2010-07
_[11] 논문 Wave digital filters: Theory and practice 1986-02
_[12] 웹사이트 Match #1: Analog vs. Digital Filters http://www.dspguide.[...]
_[13] 뉴스 Analog's answer to FPGA opens field to masses http://www.eetimes.c[...] 2008-07
_[14] 서적 "Nonlinear System Identification: NARMAX Methods in the Time, Frequency, and Spatio-Temporal Domains" Wiley 2013
_[15] 문서 ディジタルフィルタとは離散時間システムの所望の信号のみを通過（阻止）させる働きをするもの http://www.cfme.chib[...] 千葉大学 2022
_[16] 웹인용 Lab.4&5. Introduction to FIR Filters http://www.just.edu.[...] Jordan University of Science and Technology-Faculty of Engineering 2020-07-13

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